Загадка Зверева моста

19/01/2012
Подписка RSS

цепная линия, catenary, Зверев мост, Excel
Эта статья рассказывает о шуточной задаче, которая возникла совершенно случайно и решение которой, на поверку, оказалось настоящим историко-математическим исследованием.

Прогуливаясь по Садовнической набережной г. Москвы многие обращают внимание на элегантный мост, построенный в 30-м году прошлого века, названный Зверевым мостом в честь домовладельца существовавшего до революции здания в близлежащем одноимённом переулке, ныне утраченном (на фото ниже этот переулок ещё виден). Элегантностью сооружение обязано изящной, бестелесной белой арке, парящей над гладью Водоотводного канала.

Зверев мост

Помимо очевидной красоты, арка обладает ещё одним интересным свойством: её профиль напоминает то ли параболу, то ли другую весьма примечательную кривую. Речь идёт о так называемой цепной линии, получившей своё название вследствие того, что профиль этой кривой можно получить, подвесив идеальную нерастяжимую ненагруженную нить между двух опор. Похожую форму приобретает свободно висящая цепь, натянутая между двух столбов, или скакалка, если её держать в широко расставленных руках. Удивительно, но ту же форму имеет профиль тонкого лёгкого паруса под действием ветра, а также некоторые части такелажа судна. 

Такелаж

В архитектуре цепная линия в перевёрнутом виде встречается с древнейших времён, т.к. арка, выполненная по её профилю, не нагружает своим весом конструкцию. Пожалуй, самая известная архитектурная цепная линия – это 162-метровый монумент в Сент-Луисе, открытый в 1967 году.

St. Luis Arc

Впервые форму цепной линии исследовал Галилео Галилей. В своих работах он писал, что эта кривая может быть достаточно точно описана параболой. Данное утверждение было весьма близко к истине, так как верёвка или цепь, обладающая массой и ненулевым сечением, ближе к параболе, чем к классической цепной линии. Иоахим Юнг указал на неточность Галилея, но аналитически выразить форму кривой не смог.

В 1690 г. Яков Бернулли опубликовал задачу о форме кривой в Acta Eruditorium. В следующем 1691 году, ответы на его статью прислали три автора: Гюйгенс, Лейбниц и Иоганн Бернулли. Гюйгенс дал полученной кривой её совеременное англоязычное название catenary (от латинского "цепная").

В современной записи, вид уравнения, описывающего рассматриваемую кривую, содержит гиперболический косинус, который во времена Лейбница был неизвестен. Его открытие произошло почти через 100 лет после описываемых событий.

\[y = a \cdot \cosh(x/a)=\frac{a}{2} \cdot \left(\exp{\frac{x}{a}}+\exp{\frac{-x}{a}}\right)\]

Каким же образом, трём авторам удалось найти ответ на поставленный Яковом Бернулли вопрос, не обладая всем необходимым математическим аппаратом?

Исследуя форму кривой, Лейбниц и Бернулли пошли по пути изучения того, как технически построить данную линию. Лейбниц обратил внимание, что построение кривой можно описать через аппарат аналитической геометрии, геометрическое место точек плоскости. Любая серединная точка кривой в координатах XY,  лежащая между двумя равноудалёнными от неё по оси X точками, может быть описана как их геометрическое среднее. Таким образом, координата "серединной точки" на кривой описывается уравнением:

\[(x_m;y_m) = \left(\frac{x_1+x_2}{2};\sqrt{y_1\cdot y_2}\right)\]

Рассматривая это уравнение Лейбниц пришёл к выводу, что расположив две точки в координатах (0; K) и (-K; D), можно прийти к следующему выражению координат точек кривой:

\[y=K/D\cdot\left((K/D)^{x/K}+(K/D)^{-x/K}\right)\]

Как видим, это уравнение очень близко к современной записи, если использовать число Непера, e=2,71828..., т.е. основание натурального логарифма, вместо записи K/D. 

Как же нам проверить справедливость того, что Зверев мост тоже может быть описан цепной линией?

Во-первых, необходимо оцифровать изображение моста и получить математическую форму кривой. Для этих целей подойдёт бесплатная программа Engauge Digitizer, используемая для оцифровки графиков и карт со сканированных документов. Задача решается в несколько щелчков мышью. На выходе: таблица с координатами X и Y точек арки моста.

Далее, необходимо попытаться найти параметры цепной линии, наилучшим образом описывающие форму кривой. Очевидно, что эти параметры должны учитывать тот факт, что наша цепная линия перевёрнута отностельно оси Ox и смещена как по ней, так и по оси Oy. То есть, нам нужно найти параметры цепной линии, выраженной в виде уравнения:

\[y = c-a/2\cdot\left(\exp{\frac{x+b}{a}}+\exp{\frac{-x+b}{a}}\right)\]

Рассматриваемая задача может быть легко решена средствами системы R (путём построения кривой регрессии с помощью метода наименьших квадратов), но в данном случае, мы решили воспользоваться компонентом "Решатель" MS Excel, т.к. табличный процессор позволяет не только найти ответ на наш вопрос (только в версиях 2007 и 2010, где есть возможность нелинейной оптимизации), но и построить симпатичную визуализацию. Решатель выполняет поиск такого сочетания параметров a, b и c, при котором отклонение значений измеренной нами кривой от её аналитической модели будет минимальным. Суммарное отклонение выражется в виде суммы квадратов отклонений. Полученные ряды данных (измеренный и смоделированный) можно отобразить на графике в MS Excel, на котором в качестве подложки используется фото моста:

 

В данном случае, белая кривая соединяет исходные точки, а красным показаны рассчитанные аналитические значения. Как видим, цепная линия вполне годится для описания профиля арки Зверева моста. Задумывал архитектор И.А. Француз или инженер Н.Я. Калмыков этот профиль намеренно или совпадение случайно, пока загадка. Нам же остаётся радоваться этому памятнику человеческому стремлению соединть берега и минимизировать расстояния.